12.1: Estimativa da Densidade Espectral Já discutimos o periodograma, um gráfico de função que exibe informações sobre os componentes periódicos de uma série temporal. Qualquer série de tempo pode ser expressa como uma soma de ondas de coseno e seno que oscilam nas frequências fundamentais (harmónicas) jn. Com j 1, 2,, n 2. O periodograma fornece informações sobre as forças relativas das várias frequências para explicar a variação das séries temporais. O periodograma é uma estimativa de amostra de uma função populacional denominada densidade espectral, que é uma caracterização do domínio da freqüência de uma série temporal estacionária da população. A densidade espectral é uma representação do domínio da freqüência de uma série temporal que está diretamente relacionada à representação do domínio do tempo de autocovariância. Em essência, a densidade espectral e a função de autocovariância contêm a mesma informação, mas expressam-na de diferentes maneiras. Nota de revisão. A autocovariância é o numerador da autocorrelação. A autocorrelação é a autocovariância dividida pela variância. Suponha que (h) é a função de autocovariância de um processo estacionário e que f () é a densidade espectral para o mesmo processo. Na notação da frase anterior, h tempo de atraso e freqüência. A autocovariância ea densidade espectral têm as seguintes relações: Na linguagem do cálculo avançado, a autocovariância ea densidade espectral são pares de transformada de Fourier. Nós não vamos nos preocupar com o cálculo da situação. Bem, concentrar-se na estimativa da densidade espectral a caracterização do domínio da freqüência de uma série. As equações de transformada de Fourier são dadas aqui para estabelecer que há uma ligação direta entre a representação do domínio do tempo ea representação do domínio da freqüência de uma série. Matematicamente, a densidade espectral é definida para freqüências negativas e positivas. No entanto, devido à simetria da função e seu padrão de repetição para freqüências fora da faixa -12 a 12, só precisamos nos preocupar com freqüências entre 0 e 12. A densidade espectral total integrada é igual à variância da série. Assim, a densidade espectral dentro de um intervalo particular de frequências pode ser vista como a quantidade da variância explicada por essas frequências. Métodos para Estimativa da Densidade Espectral O periodograma bruto é uma estimativa aproximada da densidade espectral da população. A estimativa é áspera, em parte, porque nós usamos somente as freqüências harmônicas fundamentais discretas para o periodograma quando a densidade spectral é definida sobre um continuum das freqüências. Uma possível melhoria da estimativa do periodograma da densidade espectral é alisá-la usando médias móveis centradas. Um alisamento adicional pode ser criado usando métodos de afilamento que ponderam as extremidades (no tempo) da série menos do que o centro dos dados. Bem, não cobrir afunilamento nesta lição. As partes interessadas podem ver a Seção 4.5 no livro e várias fontes da Internet. Uma abordagem alternativa para suavizar o periodograma é uma abordagem de estimação paramétrica baseada no fato de que qualquer série temporal estacionária pode ser aproximada por um modelo de AR de alguma ordem (embora possa ser uma ordem alta). Nesta abordagem é encontrado um modelo de AR adequado e, em seguida, a densidade espectral é estimada como a densidade espectral para esse modelo de AR estimado. Método de Alisamento (Estimação Não-paramétrica da Densidade Espectral) O método usual para suavizar um periodograma tem um nome tão extravagante que soa difícil. Na verdade, é apenas um procedimento de média móvel centrado com algumas modificações possíveis. Para uma série de tempo, o kernel de Daniell com parâmetro m é uma média móvel centrada que cria um valor suavizado no tempo t, fazendo a média de todos os valores entre os tempos t m e t m (inclusive). Por exemplo, a fórmula de suavização para um kernel Daniell com m 2 é In R, os coeficientes de ponderação para um kernel Daniell com m 2 podem ser gerados com o kernel de comando (daniell, 2). O resultado é coef-2 0,2 coef-1 0,2 coef 0 0,2 coef 1 0,2 coef 2 0,2 Os subscritos para coef referem-se à diferença de tempo a partir do centro da média no tempo t. Assim, a fórmula de suavização neste caso é a mesma que a fórmula dada acima. O kernel Daniell modificado é tal que os dois pontos finais na média recebem metade do peso que os pontos internos fazem. Para um kernel Daniell modificado com m 2, a suavização é In R, o kernel de comando (modified. daniell, 2) listará os coeficientes de ponderação usados. O kernel Daniell ou o kernel Daniell modificado pode ser enrolado (repetido) para que o alisamento seja aplicado novamente aos valores suavizados. Isto produz uma suavização mais extensa por meio de média num intervalo de tempo mais largo. Por exemplo, para repetir um kernel Daniell com m 2 sobre os valores suavizados que resultaram de um kernel Daniell com m 2, a fórmula seria Esta é a média dos valores suavizados dentro de dois períodos de tempo t. Em qualquer direção. Em R, o kernel de comando (daniell, c (2,2)) fornecerá os coeficientes que seriam aplicados como pesos na média dos valores de dados originais para um núcleo Daniell enrolado com m 2 em ambos os smoothings. O resultado é gt kernel (daniell, c (2,2)) coef-4 0,04 coef-3 0,08 coef-2 0,12 coef-1 0,16 coef 0 0,20 coef 1 0,16 coef 2 0,12 coef 3 0,08 coef 4 0,04 Isso gera a suavização Fórmula A convolução do método modificado no qual os pontos finais têm menos peso também é possível. O kernel de comando (modified. daniell, c (2,2)) dá esses coeficientes: coef-4 0,01563 coef-3 0,06250 coef-2 0,12500 coef-1 0,18750 coef 0 0,21875 coef 1 0,18750 coef 2 0,12500 coef 3 0,06250 coef 4 0,01563 Assim, os valores centrais são ligeiramente mais pesados do que no núcleo Daniell não modificado. Quando suavizamos um periodograma, estamos suavizando um intervalo de freqüência ao invés de um intervalo de tempo. Lembre-se que o periodograma é determinado nas frequências fundamentais j jn para j 1, 2,, n 2. Seja I (j) o valor do periodograma na frequência j jn. Quando usamos um kernel Daniell com parâmetro m para suavizar um periodograma, o valor suavizado (hat (omegaj)) é uma média ponderada dos valores de periodograma para as freqüências na faixa (j-m) n até (jm) n. Existem valores de freqüência fundamental de L 2 m 1 na faixa (j-m) n até (jm) n. O intervalo de valores usado para suavização. A largura de banda para o periodograma suavizado é definida como A largura de banda é uma medida da largura do intervalo de freqüência usado para alisar o periodograma. Quando pesos diferentes são usados na suavização, a definição de largura de banda é modificada. Denote o valor do periodograma alisado em j jn como sombreamento (omegaj) soma hk I esquerda (omegaj frac direito). Os hk são os pesos possivelmente desiguais utilizados no alisamento. A fórmula de largura de banda é então modificada para Realmente, esta fórmula funciona para pesos iguais também. A largura de banda deve ser suficiente para suavizar a nossa estimativa, mas se usarmos uma largura de banda que é muito grande, bem suavizar o periodograma muito e perder ver picos importantes. Na prática, geralmente leva alguma experimentação para encontrar a largura de banda que dá um alisamento adequado. A largura de banda é predominantemente controlada pelo número de valores que são calculados com média na suavização. Em outras palavras, o parâmetro m para o kernel Daniell e se o kernel é enrolado (repetido) afetam a largura de banda. Nota: As relações de largura de banda R com suas plotagens não correspondem aos valores que seriam calculados usando as fórmulas acima. Consulte a nota de rodapé na p. 197 do seu texto para uma explicação. Averagingsmoothing o periodograma com um kernel Daniell pode ser realizado em R usando uma seqüência de dois comandos. O primeiro define um kernel Daniell e o segundo cria o periodograma suavizado. Como exemplo, suponha que a série observada chama-se x e desejamos suavizar o periodograma usando um kernel de Daniell com m 4. Os comandos são k kernel (daniell, 4) spec. pgram (x, k, taper0, log no) O primeiro comando cria os coeficientes de ponderação necessários para o alisamento e os armazena em um vetor denominado k. (Seu arbitrário para chamá-lo k. Pode ser chamado qualquer coisa.) O segundo comando pede uma estimativa de densidade espectral com base no periodograma para a série x. Utilizando os coeficientes de ponderação armazenados em k, sem conicidade, eo gráfico será em uma escala ordinária, não uma escala logarítmica. Se uma convolução é desejada, o comando kernel pode ser modificado para algo como k kernel (daniell, c (4,4)). Existem duas maneiras possíveis de obter um kernel Daniell modificado. Você pode alterar o comando kernel para referir-se ao modified. daniell em vez de daniell ou pode ignorar usando o comando kernel e usar um parâmetro spans no comando spec. pgram. O parâmetro spans fornece o comprimento (2 m 1) do kernel Daniell modificado desejado. Por exemplo, um kernel Daniell modificado com m 4 tem comprimento L 2 m 1 9 então o nós poderíamos usar o comando spec. pgram (x, spans9, taper 0, logno) Duas passagens de um kernel Daniell modificado com m 4 em cada passe Pode ser feito usando spec. pgram (x, spansc (9,9), conicidade 0, logno) Exemplo. Este exemplo usará a série de recrutamento de peixes que é usada em vários lugares no texto, incluindo vários lugares no capítulo 4. A série consiste em 453 valores mensais de uma medida de uma população de peixes em um local do hemisfério sul. Os dados estão no arquivo recruit. dat. O periodograma em bruto pode ser criado usando o comando (ou poderia ser criado usando o método dado na Lição 6). Spec. pgram (x, taper0, logno) Observe que no comando dado apenas omitimos o parâmetro que dá pesos para suavização. O periodograma em bruto segue: O próximo gráfico é um periodograma suavizado usando um kernel Daniell com m 4. Observe que um efeito da suavização é que o pico dominante na versão não alisada é agora o segundo pico mais alto. Isso aconteceu porque o pico é tão acentuadamente definido na versão não alisada que quando a média é com alguns valores circundantes a altura é reduzida. O próximo gráfico é um periodograma suavizado usando duas passagens de um kernel Daniell com m 4 em cada passagem. Observe como ele é ainda mais suavizado do que anteriormente. Para saber onde os dois picos dominantes estão localizados, atribua um nome à saída spec. pgram e, em seguida, você pode listá-la. Por exemplo, specvalues spec. pgram (x, k, taper0, logno) specvalues Você pode passar através da saída para encontrar as freqüências nas quais os picos ocorrem. As freqüências e estimativas de densidade espectral são listadas separadamente, mas na mesma ordem. Identificar as densidades espectrales máximas e depois encontrar as frequências correspondentes. Aqui, o primeiro pico está na freqüência .0229. O período (número de meses) associado a este ciclo 1,0229 43,7 meses, ou cerca de 44 meses. O segundo pico ocorre com uma frequência de 0,083333. O período associado 1.08333 12 meses. O primeiro pico está associado a um efeito climático de El Niño. O segundo é o habitual efeito sazonal de 12 meses. Estes dois comandos colocarão linhas pontilhadas verticais no gráfico de densidade espectral (estimado) nas localizações aproximadas das densidades de pico. Abline (v144, ltydotted) abline (v112, lty pontilhado) Heres o enredo resultante: Weve alisado o suficiente, mas para fins de demonstração, o próximo enredo é o resultado de spec. pgram (x, spansc (13,13), taper0 logno ) Isso usa duas passagens de um kernel Daniell modificado com comprimento L 13 (assim m 6) cada vez. O enredo é um pouco mais suave, mas não por muito. Os picos, pelo caminho, estão exatamente nos mesmos lugares que na trama imediatamente acima. É definitivamente possível alisar demais. Suponha que devemos usar um kernel Daniell modificado de comprimento total 73 (m 36). O comando é spec. pgram (x, spans73, taper0, logno) O resultado segue. Os picos se foram Estimativa Paramétrica da Densidade Espectral O método de suavização da estimação da densidade espectral é chamado de método não paramétrico porque não usa nenhum modelo paramétrico para o processo da série cronológica subjacente. Um método alternativo é um método paramétrico que implica encontrar o melhor modelo de AR para a série e, em seguida, plotar a densidade espectral desse modelo. Este método é suportado por um teorema que diz que a densidade espectral de qualquer processo em séries temporais pode ser aproximada pela densidade espectral de um modelo AR (de alguma ordem, possivelmente alta). Em R, a estimação paramétrica da densidade espectral é feita facilmente com a função de comando spec. ar. Um comando como spec. ar (x, logno) fará com que R faça todo o trabalho. Novamente, para identificar picos, podemos atribuir um nome aos resultados spec. ar fazendo algo como specvaluesspec. ar (x, log no). Para o exemplo de recrutamento de peixes, o seguinte gráfico é o resultado. Observe que a densidade plotada é a de um modelo AR (13). Podemos certamente encontrar mais parcimonioso ARIMA modelos para esses dados. Estavam apenas usando a densidade espectral desse modelo para aproximar a densidade espectral da série observada. A aparência da densidade espectral estimada é aproximadamente a mesma que antes. O pico estimado de El Niño está localizado num local ligeiramente diferente, a frequência é de cerca de 0,024 para um ciclo de cerca de 1,024 cerca de 42 meses. Uma série deve ser de-tendência antes de uma análise espectral. Uma tendência causará uma densidade espectral tão dominante a uma frequência baixa que outros picos não serão vistos. Por padrão, o comando spec. pgram R executa um desvio usando um modelo de tendência linear. Isto é, a densidade espectral é estimada usando os resíduos de uma regressão feita onde os dados observados da variável y e a variável x t. Se um tipo diferente de tendência estiver presente, um quadrático, por exemplo, então uma regressão polinomial poderia ser usada para desvirtuar os dados antes que a densidade espectral estimada seja explorada. Note, no entanto, que o comando R spec. ar. No entanto, não executa um de-tendências por padrão. Aplicação de Smoothers a dados brutos Observe que os smoothers descritos aqui também poderiam ser aplicados a dados brutos. O kernel Daniell e suas modificações são simplesmente alavancas médias médias (ou média móvel ponderada). Navegação16. Estimação Espectral O problema de estimação espectral para uma série de tempo discreto gerada por um processo linear invariante ao tempo pode ser formulado em três modelos: auto-regressivo (AR), média móvel (MA) e média autorregressiva-móvel (ARMA). Os procedimentos de análise diferem em cada facilidade, e erros de especificação surgem devido à aplicação do algoritmo inadequado. Os modelos AR e MA conduzem, respectivamente, às abordagens de entropia máxima (MEM) e clássicas de janelas de atraso. O modelo ARMA tem muito interesse sísmico, a resposta de impulso unitário de um meio estratificado horizontalmente é expressível desta forma. Uma vez que a sua componente de realimentação tem a propriedade de atraso mínimo, uma técnica de estimação espectral ARMA que satisfaz este requisito tem relevância sísmica particular. Tal estimativa espectral resulta da aplicação de um algoritmo iterativo de mínimos quadrados a portões seleccionados das séries temporais observadas. Um conjunto de amostras de séries temporais sintéticas serve para ilustrar a degradação na estimativa espectral resultante de uma especificação incorrecta do modelo. Muito tem sido escrito nos últimos anos sobre a análise espectral de séries de tempo discreto. Não existe uma única técnica correta para calcular o espectro na ausência de conhecimento sobre o tipo de processo que gerou os dados. Como vimos no Capítulo 9, distinguimos três processos possíveis: auto-regressivo (AR), média móvel (MA) e média autorregressiva-móvel (ARMA). Em termos de engenharia, esses processos, respectivamente, descrevem os sistemas de todos os pólos (ou feedback), os sistemas totalmente zero (ou feedforward) e os sistemas pólo-zero (ou feedbaek-feedforward). De um modo geral, não teremos conhecimento a priori sobre o mecanismo gerador das séries temporais, e somos forçados a assumir que os nossos dados gravados realmente satisfazem uma destas três representações. Uma vez que esta decisão tenha sido tomada, devemos selecionar um algoritmo apropriado para o cálculo da estimativa espectral real. No caso do AR, ou modelo de todos os pólos, o método de entropia máxima (MEM) como implementado com uma técnica devido a Burg (1967, 1975) é apropriado. Para o MA, ou todo o modelo-zero, temos recurso à abordagem clássico lag-janela (Blackman e Tukey, 1959). No Apêndice 16-1 apresentamos a matemática do método da janela-lag clássica, e no Apêndice 16-2, a matemática do método da entropia máxima. O modelo ARMA ou polo-zero também tem recebido atenção na literatura recente: técnicas de estimação espectral pertinentes foram descritas por Anderson (1971, Cap. 5), por Box e Jenkins (1970, capítulos 6 e 7) e por Alam (1978). A representação racional da resposta de impulso de um processo ARMA é dada pela razão de dois polinômios na variável complexa z. Neste capítulo, estaremos particularmente interessados na análise espectral de sismogramas. Como vimos no Capítulo 13, a resposta de impulso unitária de um meio estratificado horizontalmente elástico, perfeitamente elástico, pode ser expressa como a relação de dois desses polinômios em potências de z. Mas com a restrição adicional de que o polinômio denominador tem a propriedade de atraso mínimo. Por outras palavras, esta condição obriga os pólos do sistema a situar-se fora da periferia do círculo unitário z 1 no plano complexo e permite-nos expandir a razão polinomial ARMA na forma de uma série de potências convergentes em z. Será desejável, portanto, buscar um algoritmo de estimação espectral ARMA que garanta um denominador de atraso mínimo. Embora não haja necessidade matemática intrínseca de um método de estimação espectral ARMA para produzir um denominador de atraso mínimo, acabamos de afirmar que tal busca tem forte motivação física. Consequentemente, a propriedade de atraso mínimo do denominador é um ponto forte, e não necessariamente. Compartilhados por outros estimadores espectrais ARMA. Você é membro da SEG ou EEGS Se você é membro da SEG (com acesso a revistas da SEG e EEGS, resumos expandidos e procedimentos e preços de membros com desconto para compras individuais de livros eletrônicos da SEG) ou se já adquiriu o acesso a esta Conteúdo em separado, clique aqui para iniciar sessão e aceder ao conteúdo pretendido. Se for um membro da EEGS (com acesso às publicações da EEGS e aos resumos expandidos do Programa Técnico da SEG), clique aqui para iniciar sessão e aceder ao conteúdo pretendido. Todo o conteúdo do eBook pode ser adquirido separadamente por indivíduos e instituições. Comprar este conteúdo Escolha uma das opções a seguir: SEG Biblioteca Digital Opções Institucionais A SEG expandiu sua coleção de livros on-line para mais de 100 títulos com uma combinação de novos e legados e adicionou uma opção de compra de acesso permanente para toda a coleção. 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O modelo de sinal ARMA facilitou um cálculo rápido do deslocamento químico, tempo de relaxação aparente spin-spin (T2) e amplitudes complexas de um sistema multipico a partir de um número limitado de ecos (16). As simulações numéricas dos sistemas de um e dois picos foram utilizadas para avaliar a precisão e incerteza nos parâmetros espectrais calculados em função da aquisição e dos parâmetros teciduais. As incertezas medidas da simulação foram comparadas com o limite inferior Cramer-Rao teórico (CRLB) para a aquisição. As medições feitas em fantasmas foram usadas para validar as estimativas de T2 e para validar estimativas de incerteza feitas a partir do CRLB. Demonstrou-se a aplicação em tempo real de intervenções guiadas por RM ex vivo utilizando a técnica para monitorizar uma injecção percutânea de etanol num fígado bovino e in vivo para monitorizar um tratamento térmico induzido por laser num cérebro canino. Os resultados da simulação mostraram que as incertezas de desvio químico e de amplitude atingiram seu respectivo CRLB em uma relação sinal / ruído (SNR) 5 para comprimentos de trem de eco (ETLs) 4 usando um espaçamento de eco fixo de 3,3 ms. As estimativas de T2 do modelo de sinal possuíam maiores incertezas, mas atingiram o CRLB em SNRs maiores e / ou ETLs. Foram obtidas estimativas altamente precisas para a mudança química (lt0.01 ppm) e amplitude (lt1.0) com 4 ecos e para T2 (lt1.0) com 7 ecos. Concluímos que, em um intervalo razoável de SNR, o algoritmo SM é um estimador robusto de parâmetros espectrais de aquisições rápidas de CSI que adquire 16 ecos para sistemas de um e dois picos. Experimentos preliminares ex vivo e in vivo corroboraram os resultados de experimentos de simulação e indicam ainda o potencial desta técnica para procedimentos intervencionistas guiados por RM com alta resolução espaciotemporal 1,61,64 mm3 em 5 s. 2009 Associação Americana de Físicos em Medicina. AB - Os autores investigaram o desempenho do algoritmo iterativo Steiglitz-McBride (SM) em um modelo de média móvel autorregressiva (ARMA) de sinais de uma rápida, escassamente amostrada, multiecho, mudança química imagem (CSI) de aquisição usando simulação, phantom, ex Vivo e in vivo com um foco em seu uso potencial em intervenções orientadas por ressonância magnética (RM). O modelo de sinal ARMA facilitou um cálculo rápido do deslocamento químico, tempo de relaxação aparente spin-spin (T2) e amplitudes complexas de um sistema multipico a partir de um número limitado de ecos (16). As simulações numéricas dos sistemas de um e dois picos foram utilizadas para avaliar a precisão e incerteza nos parâmetros espectrais calculados em função da aquisição e dos parâmetros teciduais. As incertezas medidas da simulação foram comparadas com o limite inferior Cramer-Rao teórico (CRLB) para a aquisição. As medições feitas em fantasmas foram usadas para validar as estimativas de T2 e para validar estimativas de incerteza feitas a partir do CRLB. Demonstrou-se a aplicação em tempo real de intervenções guiadas por RM ex vivo utilizando a técnica para monitorizar uma injecção percutânea de etanol num fígado bovino e in vivo para monitorizar um tratamento térmico induzido por laser num cérebro canino. Os resultados da simulação mostraram que as incertezas de desvio químico e de amplitude atingiram seu respectivo CRLB em uma relação sinal / ruído (SNR) 5 para comprimentos de trem de eco (ETLs) 4 usando um espaçamento de eco fixo de 3,3 ms. As estimativas de T2 do modelo de sinal possuíam maiores incertezas, mas atingiram o CRLB em SNRs maiores e ou ETLs. Foram obtidas estimativas altamente precisas para a mudança química (lt0.01 ppm) e amplitude (lt1.0) com 4 ecos e para T2 (lt1.0) com 7 ecos. Concluímos que, em um intervalo razoável de SNR, o algoritmo SM é um estimador robusto de parâmetros espectrais de aquisições rápidas de CSI que adquire 16 ecos para sistemas de um e dois picos. Experimentos preliminares ex vivo e in vivo corroboraram os resultados de experimentos de simulação e indicam ainda o potencial desta técnica para procedimentos intervencionistas guiados por RM com alta resolução espaciotemporal 1,61,64 mm3 em 5 s. 2009 Associação Americana de Físicos em Medicina. KW - Demonstração de Desvio Químico (CSA) KW - Demonstração de eco multigradienteMedição Movente Médio Progressiva Estimação Espectral: Um Modelo de Equação Erro Procedimento quotPeriodicidade e tendência para séries diárias pluviométricas multisitios e critérios de simulação desenvolvidos Foi modelado para obter uma série temporal mais longa 22. Existem vários procedimentos de estimativa de periodicidade tais como análise espectral 23 24. método de média móvel auto-regressiva 25 28 e análise harmônica simples 2932. Embora vários estudos sobre tendência de temperatura tenham sido conduzidos no Canadá , Muito poucos deles demonstram componentes de periodicidade com respeito às condições de Ontário. Se um novo método adaptativo para a obtenção eficiente de uma estimativa espectral do modelo ARMA de uma série de tempo estacionário de sentido amplo. É adaptativo no sentido de que, como um novo elemento da série temporal é observado, os coeficientes de um modelo ARMA (p, p) ordem podem ser atualizados algoritmicamente. A complexidade computacional deste algoritmo (isto é, o número de multiplicações e adições necessárias) é da ordem p log (p) para uma versão particular do método. Além disso, o desempenho da estimativa espectral deste novo método é encontrado tipicamente para ser muito superior a tais abordagens contemporâneas como o Box-Jenkins, entropia máxima, e Widrowx27s métodos LMS. Este desempenho em conjunto com a sua eficiência computacional marca este algoritmo como sendo uma ferramenta de estimativa espectral primária. RESUMO: Neste trabalho, métodos eficazes para gerar espectroscopia de média móvel auto-regressiva causal (AR) e média autorregressiva bidimensional (ARMA) Modelos de estimativa são desenvolvidos. Estes procedimentos são encontrados para fornecer capacidades super resolução quando comparado com outros métodos mais clássicos, como a transformada de Fourier. O método ARMA envolve a manipulação da equação do modelo summin max summín max ax (n - k, n - m) summin max summin max epsilon (n - k, n - m) e utiliza o conjunto finito de observações x (n, N) para 1 leq n leq N, 1 leq n leq N. Na relação acima, a excitação aleatória, n) é considerada branca. Este ARMA modelox27s coeficientes autorregressivos a km são selecionados para minimizar um critério de mínimos quadrados ponderado composto de elementos de erro, enquanto os coeficientes de média móvel de b km são obtidos usando uma abordagem alternativa. O desempenho da estimação espectral dos métodos AR e ARMA será empiricamente demonstrado considerando o problema de resolução de dois sinusóides embutidos no ruído. Artigo Jul 1981 James A. Cadzow Koji Ogino
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